Guide pour comprendre le diagramme de Hasse

1. Le diagramme de Hasse

diagramme de hasse est une représentation graphique d’un ensemble partiellement ordonné fini, appelé aussi POSET. Les points représentent les éléments du POSET, tandis que les lignes droites expriment leurs relations. Le diagramme de hasse est essentiel pour étudier l’ensemble et les théories associées, et aussi pour représenter l’algèbre de Boole.

Au départ, le diagramme de Hasse était représenté à la main pour les POSET, mais avec le temps, sa version modifiée a permis aux étudiants d’utiliser des graphes pour leurs présentations.

Voici quelques facteurs déterminant la position du segment de droite tracé dans les diagrammes de Hasse :

1. Si un élément du POSET est supérieur à un autre, celui qui est inférieur sera placé plus bas, tandis que le plus grand sera positionné plus haut. Par exemple, si x et y sont deux éléments d’un POSET, et x>y, alors x est plus élevé que y.
2. Tracez un segment de droite entre les éléments du POSET s’il existe une relation entre x et y (ou y et x).

1.1 Relations dans un diagramme de Hasse

Les diagrammes de Hasse tirent leur nom de Helmut Hasse. Même s’il n’a pas été le premier à travailler sur ce concept, ses diagrammes ont lancé la représentation graphique visuelle des POSET. Ils peuvent aussi inclure un codage binaire d’un sous-ensemble (1) ou non (0). Leur forme et taille varient.

Un diagramme de Hasse ordinaire, ou le plus simple, peut adopter la forme d’une ligne droite, tandis qu’un diagramme complexe peut avoir une forme en trois dimensions ou une matrice 4x4. Il existe des règles concernant la relation entre les éléments présents dans le diagramme de Hasse. Les propriétés sont :

1. Réflexivité → p ≤ p ∀ p ꞓ B
2. Antisymétrie → p ≤ q et q ≤ p si et seulement si p = q
3. Transitivité → si p ≤ q et q ≤ r alors p ≤ r

Dans le cas d’un diagramme de Hasse :

1. Dans le POSET, l’élément qui est inférieur à tous les autres s’appelle l’élément maximal.
2. En revanche, l’élément minimal est celui qui n’est supérieur à aucun des autres présents dans le POSET.
3. L’élément d’un POSET qui dépasse tous les autres est appelé l’élément le plus grand. De même, l’élément du POSET qui précède tous les autres est connu comme le plus petit élément. Ces deux éléments sont uniques dans un diagramme de Hasse.
4. Les éléments maximaux et minimaux dans le diagramme de Hasse peuvent être identiques, cela dépend de l’ensemble représenté.

2. Comment dessiner un diagramme de Hasse ?

Les étudiants qui veulent comprendre l’ordre des ensembles utilisés peuvent utiliser un diagramme de hasse. Il n’est pas facile de construire un diagramme de Hasse à la main.

2.1 Créer un diagramme de Hasse à partir d’un croquis

Voici quelques étapes à suivre pour dessiner un diagramme de Hasse :

Étape 1 : Le diagramme de Hasse est aussi appelé diagramme d’ordre. Donc, pour débuter, les étudiants doivent réaliser le digraphe de l’ordre partiel.

Étape 2 : Ensuite, il faut supprimer la boucle réflexive présente sur chaque sommet. Puis, il faut retirer les éléments présents uniquement grâce à la transitivité. Exemple : il y a trois éléments, 1R2, 2R3 et 1R3. On élimine donc 1R3 pour la transitivité.

Étape 3 : Ensuite, disposez les arêtes afin que les flèches soient orientées vers le haut. Enfin, effacez les pointes de flèche et représentez les nœuds par des points, sans utiliser de cercle ou de figure différente.

2.2 Créer un diagramme de Hasse en ligne

On peut facilement se tromper sur la nature du diagramme et réaliser des erreurs. Les étudiants doivent donc être attentifs aux propriétés réflexives et transitive en travaillant sur leur diagramme de Hasse. Pour éviter ces erreurs, il est conseillé d’utiliser le EdrawMax Online outil. L’outil est très intuitif, donc même sans expérience en dessin de diagrammes, on peut l’utiliser. Son interface facile à prendre en main le rend populaire chez de nombreux utilisateurs.

Vous pouvez utiliser cet outil pour étudier de nombreux sujets différents. Il propose plus de 280 types de diagrammes. Aujourd’hui, EdrawMax compte plus de 25 millions d’utilisateurs. Un étudiant peut créer un diagramme de Hasse avec EdrawMax Online plutôt que d’en dessiner un à la main. Voici les étapes simples à suivre sur l’outil EdrawMax Online pour réaliser un diagramme de Hasse :

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Étape 1 :Pour commencer votre diagramme de Hasse, ouvrez l’outil EdrawMax Online. Cet outil est ergonomique : ainsi, même un débutant peut faire son diagramme sans difficulté. Pour continuer, ouvrez Nouveau. Dans cette ‘Nouveau’ option, vous trouverez l’onglet Sciences et Éducation .

Étape 2 : Les étudiants accèdent à de nombreuses vidéos scientifiques et éducatives sur cet outil, très utiles pour les cours. Pour trouver le diagramme de Hasse, il faut ouvrir l’onglet Mathématiques et choisir le diagramme de Hasse.

Étape 3 : Après avoir sélectionné le diagramme, vous pouvez le modifier selon les besoins du cours. L’outil propose des modèles de grande qualité qui nécessitent seulement quelques changements.

Étape 4 : Une fois la modification terminée, il suffit de sauvegarder puis d’exporter le diagramme : très utile pour un usage futur. Les étudiants peuvent enregistrer leur travail dans plusieurs formats pour les cours, projets ou mémoires. On peut exporter le diagramme de Hasse pour un usage ultérieur. L’outil EdrawMax Online est compatible avec de nombreux appareils et systèmes d’exploitation, ce qui permet aux étudiants de travailler facilement leur diagramme de Hasse à tout moment, n’importe où.

3. Exemples de diagrammes de Hasse

Le diagramme de hasse permet de représenter visuellement les ensembles partiellement ordonnés. Voici quelques exemples de diagrammes de Hasse :

ensemble A = {5, 6, 7, 8}. On définit R comme la relation ≤ sur A. Voici le diagramme de Hasse de R :

R={{5, 5}, {5, 6}, {5, 7}, {5, 8}, {6, 6}, {6, 7}, {6, 8}, {7, 7}, {7, 8}, {8, 8}}

Supprimé pour la propriété réflexive : (5, 5), (6, 6), (7, 7), (8, 8).

Supprimé pour la propriété transitive : (5, 7), (5, 8), (6, 8).

Le deuxième exemple concerne le tracé d’un diagramme de Hasse pour déterminer le POSET de la divisibilité : (4, 6, 24, 32, 48, 72). Si l’ensemble est A, alors :

A = {{4, 24}, {4, 32}, {4, 48}, {4, 72}, {6, 24}, {6, 48}, {6, 72}, {24, 48}, {24, 72}}.

Diviseur positif de l’entier 18.

Si l’ensemble est D, alors D={1, 2, 3, 6, 9, 18}, donc le poset A = {{1, 2}{1, 3}, {1, 6}, {1, 9}, {1, 12}, {1, 18}, {2, 6}, {2, 18}, {3, 6}, {3, 9}, {3, 18}, {6, 18}, {9, 18}}.

4. Conclusion

Pour comprendre la théorie des ensembles et clarifier la notion d’ensembles partiellement ordonnés, il est conseillé aux étudiants d’utiliser le diagramme de hasse. Réaliser un diagramme de Hasse à la main est difficile et peut prendre beaucoup de temps. Les étudiants risquent alors de ne pas obtenir un schéma parfait pour leurs cours. Il est donc recommandé d’utiliser l’outil EdrawMax Online, qui est simple d’utilisation. Cet outil aide à concevoir facilement un diagramme de hasse de qualité.

En résumé, EdrawMax Online est un outil de création de diagrammes conçu pour démarrer rapidement, idéal pour concevoir un diagramme de Hasse et plus de 280 types de schémas. Il propose également de nombreux modèles intégrés gratuits, et vous pouvez partager vos schémas scientifiques avec d’autres utilisateurs dans la communauté de templates.